Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），一次函數(shù) 的圖象與邊OC、AB分別交于點(diǎn)D、E，并且滿足OD=BE．點(diǎn)M是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求b的值；
（2）連結(jié)OM，若三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)N是x軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解： 中，令x=0，解得y=b，則D的坐標(biāo)是（0，b），OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b，則E的坐標(biāo)是（3，4﹣b），

把E的坐標(biāo)代入 得4﹣b=﹣2+b，

解得：b=3

（2）

解：S四邊形OAED= （OD+AE）OA= ×（3+1）×3=6，

∵三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，

∴S△ODM=1.5．

設(shè)M的橫坐標(biāo)是a，則 ×3a=1.5，

解得：a=1，

把x=a=1代入y=﹣ x+3得y=﹣ × +3= ．

則M的坐標(biāo)是（1， ）

（3）

解：當(dāng)四邊形OMDN是菱形時(shí)，如圖（1），

M的縱坐標(biāo)是 ，把y= 代入y=﹣ x+3，得﹣ x+3= ，解得：x= ，

則M的坐標(biāo)是（ ， ），

則N的坐標(biāo)是（﹣ ， ）；

當(dāng)四邊形OMND是菱形時(shí)，如圖（2）

OM=OD=3，設(shè)M的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是﹣ m+3，

則m2+（﹣ m+3）2=9，

解得：m= 或0（舍去）．

則M的坐標(biāo)是（ ， ）．

則DM的中點(diǎn)是（ ， ）．

則N的坐標(biāo)是（ ， ）．

故N的坐標(biāo)是（﹣ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）首先在一次函數(shù)的解析式中令x=0，即可求得D的坐標(biāo)，則OD的長度即可求得，OD=b，則E的坐標(biāo)即可利用b表示出來，然后代入一次函數(shù)解析式即可得到關(guān)于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四邊形OAED的面積，則△ODM的面積即可求得，設(shè)出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)；（3）分成四邊形OMDN是菱形和四邊形OMND是菱形兩種情況進(jìn)行討論，四邊形OMDN是菱形時(shí)，M是OD的中垂線與DE的交點(diǎn)，M關(guān)于OD的對稱點(diǎn)就是N；
四邊形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)OM=OD即可求得M的坐標(biāo)，則根據(jù)ON和DM的中點(diǎn)重合，即可求得N的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對角線相等．