Question

25、請(qǐng)閱讀下列材料：
問題：如圖，在正方形ABCD和平行四邊形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．
探究：當(dāng)PG與PC的夾角為多少度時(shí)，平行四邊形BEFG是正方形？
小聰同學(xué)的思路是：首先可以說明四邊形BEFG是矩形；然后延長GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理可以探索出問題的答案．
請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決這個(gè)問題．
（1）求證：四邊形BEFG是矩形；
（2）PG與PC的夾角為

90

度時(shí)，四邊形BEFG是正方形．
理由：

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD，易得∠EBG=90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可證得四邊形BEFG是矩形；
（2）首先作輔助線：延長GP交DC于點(diǎn)H，根據(jù)正方形與平行四邊形的性質(zhì)，利用AAS易得△DHP≌△FGP，則有HP=GP，當(dāng)∠CPG=90°時(shí)，利用SAS易證△CPH≌△CPG，根據(jù)全等三角形與正方形的性質(zhì)，即可得BG=GF，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得?BEFG是菱形，而∠EBG=90°，即得四邊形BEFG是正方形．

解答：解：（1）∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，（1分）
∴∠EBG=90°，（2分）
∴?BEFG是矩形（3分）

（2）90°；（4分）
理由：延長GP交DC于點(diǎn)H，
∵正方形ABCD和平行四邊形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，（5分）
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴HP=GP，（6分）
當(dāng)∠CPG=90°時(shí)，∠CPH=CPG，
∵CP=CP，
∴△CPH≌△CPG，
∴CH=CG，（7分）
∵正方形ABCD中，DC=BC，
∴DH=BG，（8分）
∵△DHP≌△FGP，
∴DH=GF，
∴BG=GF，
∴?BEFG是菱形，（9分）
由（1）知四邊形BEFG是矩形，
∴四邊形BEFG是正方形．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．