Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且 ．

（1）求點A的坐標及直線BC的函數關系式；
（2）點M在x軸上，連接MB，當∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標；
（3）若點P在x軸上，平面內是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解；對于直線y=x+4，令x=0的y=4，令y=0得x=4，

∴A(4,0),B(0,4)，

∴OB=OA=4，

∵OC= OB，

∴OC=3，

∴C(3,0)，

設直線BC的解析式為y=kx+b,則有 ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x+4.

（2）解：如圖1中，

當點M在點A的左邊時，

∵OB=OA=4,∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°，

∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，

∴∠CBO=∠OBM，

∵∠CBO+∠BCO=90°,∠BMO+∠OBM=90°，

∴∠BCO=∠BMO，

∴BC=BM，OC=OM=3，

∴M(3,0)，

作點M關于直線AB的對稱點N,作直線BN交x軸于M ,則∠M BA=∠MBA,點M 滿足條件.

∵N(4,1),B(0,4)，

∴直線BN的解析式為y= x+4,令y=0,得x= ，

∴M ( ,0)，

綜上所述,滿足條件的點點M的坐標為(3,0)或( ,0)

（3）解：如圖2中，

∵BC= =5，

當BC為菱形的邊時,四邊形CPQB,四邊形CPQB,四邊形BCQP是菱形,此時Q (5,4),Q (5,4),Q (0,4)，

當BC是菱形的對角線時,四邊形 是菱形,可得 (256,4).

綜上所述,滿足條件的點Q的坐標為(5,4)或(5,4)或(0,4)或( ,4).

【解析】（1）分別令y、x等于0，求出直線與x、y軸的交點坐標，由線段OC轉化為坐標；（2）分類討論：點M在點A的左邊或在A的右側，對45度角進行轉化，可求出BC關于y軸對稱或BM關于y=-x+4的對稱直線；（3）可分類討論，就定線段BC為邊，或為對角線，進行分類.