Question

【題目】如圖，△ABC內接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，若∠MAC＝∠ABC．

（1）求證：MN是半圓的切線；

（2）設D是弧AC的中點，連結BD交AC 于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．求證：FD＝FG．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理推論得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠CAB=90°，而∠MAC=∠ABC，則∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根據切線的判定即可得到結論；

（2）連AD，根據圓周角定理推論得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，則∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用對頂角相等易得∠1=∠2，則有FD=FG．

試題解析：（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

而∠MAC=∠ABC，

∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，

∴MN是半圓的切線；

（2）解：如圖

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

而DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，

∵D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，

∴∠3=∠5，

∴∠1=∠4，

而∠2=∠4，

∴∠1=∠2，

∴FD=FG．