Question

【題目】如圖，已知ED為☉O的直徑且ED=4，點A(不與點E，D重合)為☉O上一個動點，線段AB經過點E，且EA=EB，F為☉O上一點，∠FEB=90°，BF的延長線交AD的延長線于點C.

(1)求證:△EFB≌△ADE；

(2)當點A在☉O上移動時，直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形FCDE的最大面積是8.

【解析】

（1）連接FA，根據垂直的定義得到EF⊥AB，得到BF=AF，推出BF=ED，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠B=∠AED，得到DE∥BC，推出四邊形形FCDE，得到E到BC的距離最大時，四邊形FCDE的面積最大，即點A到DE的距離最大，推出當A為的中點時，于是得到結論．

(1)連接FA,

∵∠FEB=90°,

∴EF⊥AB,

∵BE=AE,

∴BF=AF,

∵∠FEA=∠FEB=90°,

∴AF是☉O的直徑,

∴AF=DE,

∴BF=ED,

在Rt△EFB與Rt△ADE中,

∴Rt△EFB≌Rt△ADE.

(2)∵Rt△EFB≌Rt△ADE,

∴∠B=∠AED,

∴DE∥BC,

∵ED為☉O的直徑,

AC⊥AB,

∵EF⊥AB,

∴EF∥CD,

∴四邊形FCDE是平行四邊形,

∴E到BC的距離最大時,四邊形FCDE的面積最大,即點A到DE的距離最大,

∴當A為的中點時,點A到DE的距離最大是2,

∴四邊形FCDE的最大面積=4×2=8.