Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D，B，C三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）證明見解析；（3）存在，點N的坐標為（-5，）、（3，）、（-3，-）．

【解析】

試題分析：（1）先確定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交點式求拋物線的解析式；

（2）先計算出CD=2OC=4，再根據平行四邊形的性質得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，則由AE=3BE得到AE=3，接著計算

，加上∠DAE=∠DCB，則可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°則∠CDO+∠ODE=90°，再利用圓周角定理得到CD為⊙P的直徑，于是根據切線的判定定理得到ED是⊙P的切線

（3）利用配方得到y=-（x+1）2+，則M（-1，），且B（-4，0），D（0，2），根據平行四邊形的性質和點平移的規律，利用分類討論的方法確定N點坐標．

試題解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（-4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），

把D（0，2）代入得a4（-2）=2，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x+4）（x-2）=-x2-x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴，，

∴，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（3）存在．

∵y=-x2-x+2=-（x+1）2+

∴M（-1，），

而B（-4，0），D（0，2），

如圖2，

當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點D向左平移4個單位，再向下平移2個單位得到點B，則點M（-1，）向左平移4個單位，再向下平移2個單位得到點N1（-5，）；

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點B向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點M，則點D（0，2）向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點N2（3，）；

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點M向左平移3個單位，再向下平移個單位得到點B，則點D（0，2）向右平移3個單位，再向下平移個單位得到點N3（-3，-），

綜上所述，點N的坐標為（-5，）、（3，）、（-3，-）．