Question

【題目】已知如圖，是邊長為的正的邊上一點，交于，交于，設．

求的面積與的函數關系式和自變量的取值范圍．

當為何值時，的面積最大，最大面積是多少？

若與由、、三點組成的三角形相似，求的長．

Answer 1

【答案】（1），自變量的取值范圍,；（2）當，的面積最大．最大面積是；（3）或．

【解析】

（1）判斷出△BDE和△DEF的形狀，利用60°的正弦值用DF表示出DC，進而得到BD，DE，利用三角形的面積公式求得函數關系式．

（2）根據已知的函數關系式求出頂點坐標即可得知△EDF的面積最大值與x的取值.
（3）由相似得到△DEF是含30°的直角三角形，可利用所給的2個特殊的直角三角形都用BD表示出DF的長度，然后即可求得BD長．

∵是正三角形，且，

∴，

∴是等邊三角形，，

∴．

，

．

，

∵在上，

∴，

當時，，，

（等于時，和重合）

∴自變量的取值范圍．

∵，

，

∴當，的面積最大．

最大面積是．（答案有問題）

當，

∴．

∴．

∵，，

∴，

∴．

解得：．

當，

同理可得：，

∴或．