Question

已知直線y=（m-1）x+3與函數y=x²+m的圖象的一個交點的橫坐標為2，
（1）求關于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m-4=0的解．
（2）若將拋物線C₁：y=x²-（m-1）x+m-4繞原點旋轉180°，得到圖象C₂，點P為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線，分別與圖象C₁、C₂交于M、N兩點，當線段MN的長度最小時，求點P的坐標．

Answer 1

（1）解：∵直線y=（m-1）x+3與函數y=x²+m的圖象的一個交點的橫坐標為2，
∴2（m-1）+3=4+m
解得m=3
將m=3代入原方程化為x²-2x-1=0，
解得x₁=1+，x₂=1-．

（2）解：將m=3代入得拋物線：y=x²-2x-1=（x-1）²-2，把拋物線繞頂點旋轉180°，
可得新拋物線的解析式的二次項的系數為-1，頂點變為（-1，2），
∴所求的拋物線解析式為：y=-（x+1）²+2=-x²-2x+1，
∴將拋物線y=x²-2x-1繞原點旋轉180°得到的圖象C₂的解析式為：y=-x²-2x+1．
設P（x，0），則M（x，x²-2x-1），N（x，-x²-2x+1），
∴MN=（x²-2x-1）-（-x²-2x+1）=2x²+2，
∴當x=0時，MN的長度最小，此時點P的坐標為（0，0）．
分析：（1）將兩函數聯立，求出m即可得到方程，求解即可；
（2）利用二次函數旋轉180°后，系數之間的關系，得出新函數的解析式，在表示出M，N的坐標，即可解決．
點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式，以及一次函數與二次函數的綜合應用，還有二次函數的旋轉等，題目綜合性較強．