Question

【題目】在Rt△ACB中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）BD=.

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質和已知得出∠ODA=∠CBD，由直角三角形的性質得出∠CBD+∠CDB=90°，因此∠ODA+∠CDB=90°，得出∠ODB=90°，即可得出結論；（2）設AD=8k，則AO=5k，AE=2OA=10k，由圓周角定理得出∠ADE=90°，△ADE∽△BCD，得出對應邊成比例，即可求出BD的長．

試題解析：（1）BD是⊙O的切線；理由如下：∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，∵∠CBD=∠A，∴∠ODA=∠CBD，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，即BD⊥OD，∴BD是⊙O的切線；（2）設AD=8k，則AO=5k，AE=2OA=10k，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠C，又∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△BCD，∴，即，解得：BD=．所以BD的長是．