Question

【題目】如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，點E、F在AB上，且∠ECF＝60°．

（1）①在圖1中畫出；點A關于直線CF的對稱點G；②若EF＝AF，求證：BE＝EF；

（2）如圖2，∠ABP＝120°，射線BP交CE的延長線于點P，求證：PB+AF＝PF．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據對稱的性質畫出點G，根據對稱的性質和全等三角形的性質可求證BE＝EF.（2）將△ACF繞C點逆時針旋轉至AC與BC重合，根據全等三角形的性質可求證PB+AF＝PF.

解：（1）①如解圖（1）：G為點A關于直線CF的對稱點；

②連接FG、CG、EG，

∵G為點A關于直線CF的對稱點；

∴△ACF≌△GCF，

∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．

又∵AC＝BC，

∴CG＝CB，

∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，

∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，

∴∠ECG＝∠ECB，

在△GCE和△BCE中

∴△GCE≌△BCE（SAS），

∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，

∵∠ACB＝120°，

∴∠A+∠B＝60°，

∴∠EGC+∠FGC＝60°，

又∵AF＝EF＝FG，

∴△FEG為等邊三角形，

∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．

（2）證明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可將△ACF繞C點逆時針旋轉120°到△BCF′位置，如解圖2，

∵△ACF≌△BCF′，

∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′

又∵∠FBP＝120°，

∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°，

∴B、P、F′在同一直線上，

又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°．

在△CFP和△CF′P中，

，

∴△CFP≌△CF′P（SAS）

∴FP＝F′P，

∵PB+BF′＝BP+AF，

∴PB+AF＝PF