Question

【題目】已知點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點M，N分別是射線AE，AF上的點，且PM=PN．

（1）如圖1，當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時，求證：BM=CN；

（2）在（1）的條件下，直接寫出線段AM，AN與AC之間的數量關系 ；

（3）如圖2，當點M在線段AB的延長線上，點N在線段AC上時，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四邊形ANPM的面積．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、AM+AN=2AC；(3)、32

【解析】

試題分析：(1)、根據PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，利用HL判定Rt△PBM≌Rt△PCN，即可得出BM=CN；

(2)、先已知條件得出AP平分∠CPB，再根據PB⊥AB，PC⊥AC，得到AB=AC，最后根據BM=CN，得出AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；(3)、由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的長，又由S四邊形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB，即可求得四邊形ANPM的面積．

試題解析：(1)、如圖1，∵點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE，PC⊥AF，

∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°， ∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，

， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL）， ∴BM=CN；

(2)、AM+AN=2AC． ∵∠APB=90°﹣∠PAB，∠APC=90°﹣∠PAC，點P為∠EAF平分線上一點，

∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB， ∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴AB=AC， 又∵BM=CN，

∴AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；

(3)、如圖2，∵點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE，PC⊥AF， ∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，

∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°， ， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），

∴BM=CN， ∴S△PBM=S△PCN ∵AC：PC=2：1，PC=4， ∴AC=8，

∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4， ∴S四邊形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM =S△APN+S△APB+S△PCN

=S△APC+S△APB =ACPC+ABPB=×8×4+×8×4=32．