Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB，BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為=2cm/s，=1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用含t的代數(shù)式表示BP=______，BQ=_______；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為等邊三角形？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）6-2t，t.（2）當(dāng)t=2s時(shí)△PBQ為等邊三角形；（3）當(dāng)t為1.5s或2.4s時(shí)△PBQ為直角三角形．

【解析】

（1）由題意可知AP=2t，BQ=t.再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解；

（2）當(dāng)△PBQ為等邊三角形時(shí)，則有BP=BQ，即6-2t=t，可求得t；
（3）當(dāng)PQ⊥BQ時(shí)，在Rt△PBQ中，BP=2BQ，可得6-2t=2t；當(dāng)PQ⊥BP時(shí)，可得BQ=2BP，可得2t=2（6-2t）分別求得t的值即可．

解：（1）依題意，得：AP=2t，BQ=t.

∵AB=6,

∴BP=AB-AP=6-2t.

故答案為6-2t，t.

由（1）可知AP=2t，BQ=t，則BP=AB-AP=6-2t，

∵△PBQ為等邊三角形，

∴BP=BQ，

即6-2t=t，

解得t=2，

∴當(dāng)t=2s時(shí)△PBQ為等邊三角形；
（3）①當(dāng)PQ⊥BQ時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴在Rt△PBQ中，BP=2BQ，
即6-2t=2t，
解得t=1.5；
②當(dāng)PQ⊥BP時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（6-2t），解得t=2.4，
綜上可知當(dāng)t為1.5s或2.4s時(shí)△PBQ為直角三角形．