Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的⊙與邊分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

⑴求證：是⊙的切線；

⑵若，求的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點(diǎn)G，推出∠ODB=∠C；然后根據(jù)DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切線．（2）首先判斷出：AG=AE=2，然后判斷出四邊形OGFD為矩形，即可求出DF的值．

試題解析：

（1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點(diǎn)G，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∴∠ODF=∠DFC=90°，

∴DF是⊙O的切線．

（2）解：AG=AE=2，

∵cosA=，

∴OA===5，

∴OG=，

∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，

∴四邊形OGFD為矩形，

∴DF=OG=．