Question

已知關于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根；
（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并直接寫出以這兩根為直角邊的直角三角形外接圓半徑的值．

Answer 1

分析：（1）先計算判別式、整理得到△=（m-2）²+4，再根據非負數的性質△＞0，然后根據判別式的意義即可得到結論；
（2）先把x=1定義原方程可求出m=2，則方程變形為x²-4x+3=0，利用因式分解法得到x₁=1，x₂=3，再根據勾股定理計算出以1，3為直角邊的直角三角形的斜邊為

10

，然后根據直角三角形的斜邊為外接圓的直徑求解．

解答：（1）證明：△=（m+2）²-4（2m-1）
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴△＞0，
∴方程恒有兩個不相等的實數根；

（2）解：把x=1代入方程得1-（m+2）+2m-1=0，解得m=2，
∴原方程變形為x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，即方程另一根為3，
∵以1，3為直角邊的直角三角形的斜邊為

12+32

=

10

，
∴以1，3為直角邊的直角三角形的直角三角形外接圓半徑為

10

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的解和直角三角形外接圓與外心．