Question

【題目】（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB=8．

（1）利用尺規，作∠CAB的平分線，交⊙O于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，連接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度數；

（3）在（2）的條件下，OD交BC于點E．求出由線段ED，BE，所圍成區域的面積．（其中表示劣弧，結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）30°；（3）．

【解析】

試題分析：（1）作AP平分∠CAB交⊙O于D；

（2）由等腰三角形性質得到∠CAD=∠ADC．又由∠ADC=∠B，得到∠CAD=∠B．

再根據角平分線定義得到∠CAD=∠DAB=∠B．由于直徑所對圓周角為90°，得到∠ACB=90°，從而得到∠B的度數；

（3）先得到△OEB是30°角的直角三角形，從而得出OE，EB的長，然后把不規則圖形面積轉化為扇形BOD的面積減去Rt△OEB的面積求解．

試題解析：（1）如圖，AP即為所求的∠CAB的平分線；

（2）∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC．又∵∠ADC=∠B，∴∠CAD=∠B．

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=∠B．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90° ，∴∠B=30°；

（3）由（2）知，∠DAB=30°．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠EOB=60°，∴∠OEB=90°．

在Rt△OEB中，∵OB=4，∠OBE=30°，∴OE=2，BE=，∴S===．