Question

【題目】如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心，經過A，C兩點且與BC邊交于點E，點D為CE的下半圓弧的中點，連接AD交線段EO于點F，若AB=BF．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若CF=4，DF=，求⊙O的半徑r及sinB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）r=3，sinB=．

【解析】

試題分析：（1）連接OA、OD，如圖，根據垂徑定理得OD⊥BC，則∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，則OA⊥AB，然后根據切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線；

（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理建立方程，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

然后在Rt△AOB中利用勾股定理，得到AB的值，再根據三角函數定義求出sinB．

試題解析：（1）證明：連接OA、OD，如圖，∵點D為CE的下半圓弧的中點，∴OD⊥BC，∴∠EOD=90°，∵AB=BF，OA=OD，∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，而∠BFA=∠OFD，∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O切線；

（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF=，在Rt△DOF中，，即，解得：r=3或r=1（舍去）；∴半徑r=3，∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．在Rt△AOB中，，∴，∴AB=4，OB=5，∴sinB==．