Question

【題目】如圖①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試解答下列問題：

（1）試說明：OB∥AC；

（2）如圖②，若點E．F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF.試求∠EOC的度數；

（3）在（2）小題的條件下，若左右平行移動AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值.

（4）在（3）小題的條件下，當∠OEB=∠OCA時，試求∠OCA的度數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠EOC的度數為40°；

（3）比值不變，∠OCB：∠OFB=1：2

（4）∠OCA的度數為60°.

【解析】試題分析：（1）根據等式性質及平行線的判定可以得到證明思路；

(2)根據角平分線及觀察圖形知道∠EOC=∠BOC=400；

(3)∠OFB與∠OCB實際上是三角形的外角與不相鄰的內角的關系，再觀察圖形可知兩直線平行內錯角相等，角平分線分得的兩個角相等，等量代換可得結論；

（4）由∠OEB=∠OCA可以推出∠BOE=∠BCO=∠EOF=∠COF∠COA=200，從而∠OCA=600；

試題解析：

解：（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，

∴∠A+∠O=180°，

∴OB∥AC； 3分

（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=100°，

∴∠BOA=80°，

∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA=40°；

（3）結論：∠OCB：∠OFB的值不發生變化．理由為：

∵BC∥OA，

∴∠FCO=∠COA，

又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠FOC=∠FCO，

∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，

∴∠OCB：∠OFB=1：2；

（4）由（1）知：OB∥AC，

則∠OCA=∠BOC，

由（2）可以設：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，

則∠OCA=∠BOC=2α+β，

∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，

∵∠OEC=∠OCA，

∴2α+β=α+2β，

∴α=β，

∵∠AOB=80°，

∴α=β=20°，

∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60．