Question

【題目】如圖1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b滿足a2﹣4a+20=8b﹣b2 ．

（1）求A、B兩點的坐標；
（2）如圖2，連接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于點E，B、C關于y軸對稱，M是線段DE上的一點，且DM=AB，連接AM，試判斷線段AC與AM之間的位置和數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若N是線段DM上的一個動點，P是MA延長線上的一點，且DN=AP，連接PN交y軸于點Q，過點N作NH⊥y軸于點H，當N點在線段DM上運動時，△MQH的面積是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2﹣4a+20=8b﹣b2，

∴（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，

∴a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，0）

（2）解：∵AD=OA+OD=8，BC=2OB=8，

∴AD=BC，

在△CAB與△AMD中， ，

∴△CAB≌△AMD，

∴AC=AM，∠ACO=∠MAD，

∵∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°，

∴AC=AM，AC⊥AM

（3）解：過P作PG⊥y軸于G，

在△PAG與△HND中， ，

∴△PAG≌△HND，

∴PG=HN，AG=HD，

∴AD=GH=8，

在△PQG與△NHQ中， ，

∴△PQG≌△NHQ，

∴QG=QH= GH=4，

∴S△MQH= ×4×2=4．

【解析】（1）由a2﹣4a+20=8b﹣b2 ， 得到（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，求得a=2，b=4，于是得到結論；（2）由已知條件得到AD=BC，推出△CAB≌△AMD，根據全等三角形的性質得到AC=AM，∠ACO=∠MAD，由于∠ACO+∠CAO=90°，得到∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°即可得到結論；（3）過P作PG⊥y軸于G，證得△PAG≌△HND，根據全等三角形的性質得到PG=HN，AG=HD，證得△PQG≌△NHQ，得到QG=QH= GH=4即可得到結論．