Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，且OA=3，AB=5．點P從點O出發沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB﹣BO﹣OP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在點P從O向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t之間的函數關系式（不必寫出t的取值范圍）；

（3）在點E從B向O運動的過程中，完成下面問題：

①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

②當DE經過點O時，請你直接寫出t的值．

【答案】（1）直線AB的解析式為；（2）S=﹣t2+t；

（3）四邊形QBED能成為直角梯形．①t=；②當DE經過點O時，t=或．

【解析】分析：（1）首先由在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,求得OB的值，然后利用待定系數法即可求得一次函數的解析式；
（2）過點Q作QF⊥AO于點F.由△AQF∽△ABO,根據相似三角形的對應邊成比例，借助于方程即可求得QF的長，然后即可求得的面積S與t之間的函數關系式；
（3）①分別從DE∥QB與PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性質，即可求得t的值；
②根據題意可知即時，則列方程即可求得t的值．

詳解：(1)在Rt△AOB中,OA=3,AB=5,由勾股定理得

∴A(3,0),B(0,4).

設直線AB的解析式為y=kx+b.

∴.解得

∴直線AB的解析式為

(2)如圖1，過點Q作QF⊥AO于點F.

∵AQ=OP=t，∴AP=3t.

由△AQF∽△ABO,得

∴

∴

∴

∴

(3)四邊形QBED能成為直角梯形,

①如圖2,當DE∥QB時，

∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形.

此時

由△APQ∽△ABO,得

∴

解得

如圖3,當PQ∥BO時，

∵DE⊥PQ，

∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形.

此時

由△AQP∽△ABO,得

即

3t=5(3t)，

3t=155t，

8t=15，

解得

(當P從A向0運動的過程中還有兩個,但不合題意舍去).

②當DE經過點O時，

∵DE垂直平分PQ，

∴EP=EQ=t，

由于P與Q相同的時間和速度，

∴AQ=EQ=EP=t，

∴∠AEQ=∠EAQ，

∵

∴∠BEQ=∠EBQ，

∴BQ=EQ，

∴

所以

當P從A向O運動時，

過點Q作QF⊥OB于F，

EP=6t,

即EQ=EP=6t，

AQ=t，BQ=5t，

∴

∴

∵

即

解得：

∴當DE經過點O時, 或.

點睛：本題考查知識點較多，勾股定理，待定系數法求一次函數解析式，相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握和運用各個知識點是解題的關鍵.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】如圖，反比例函數y＝(m≠0)與一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象相交于A、B兩點，點A的坐標為(－6，2)，點B的坐標為(3，n)．求反比例函數和一次函數的解析式．

Answer 1

【答案】反比例函數： 一次函數：

【解析】先根據點A的坐標求出反比例函數的解析式，即可求得點B的坐標，再由點A、B的坐標根據待定系數法列出方程組即可求得以此函數解析式。