Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交于BE的延長線于點F，且AF=DC，連接CF．
（1）求證：D是BC的中點；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是AD的中點，

∴AE=DE．

∵AF∥BC，

∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．

∴AF=BD．

∵AF=DC，

∴BD=DC．

即：D是BC的中點

（2）解：四邊形ADCF是矩形；

證明：∵AF=DC，AF∥DC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC即∠ADC=90°．

∴平行四邊形ADCF是矩形

【解析】（1）可證△AFE≌△DBE，得出AF=BD，進而根據(jù)AF=DC，得出D是BC中點的結論；（證法2：可根據(jù)AF平行且相等于DC，得出四邊形ADCF是平行四邊形，從而證得DE是△BCF的中位線，由此得出D是BC中點）（2）若AB=AC，則△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知AD⊥BC；而AF與DC平行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又AD⊥BC，則四邊形ADCF是矩形．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．