Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．

（1）求證：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在線段AB上找一點P，連結FP使FP⊥AC，連結PC，試判定四邊形APCF的形狀，并說明理由，直接寫出此時線段PF的大小

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、DF=；（3）、PF=

【解析】

試題分析：（1）、根據矩形的可得AD=BC，AB=CD，根據折疊圖形可得BC=EC，AE=AB，則可得AD=CE，AE=CD，從而得到三角形全等；（2）、設DF=x，則AF=CF=4－x，根據Rt△ADF的勾股定理求出x的值；（3）、根據菱形的性質進行求解.

試題解析：（1）、∵矩形ABCD

∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD

∴∠ACD=∠CAB

∵△AEC由△ABC翻折得到

∴AB=AE,BC=EC, ∠CAE=∠CAB

∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，

在△ADE與△CED中

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）、如圖，∵∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

設DF=x，則AF=CF=4﹣x，

在RT△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4﹣x）2，

解得；x=，

即DF=．

（3）、四邊形APCF為菱形 設AC、FP相較于點O

∵FP⊥AC

∴∠AOF=∠AOP

又∵∠CAE=∠CAB，

∴∠APF=∠AFP

∴AF=AP

∴FC=AP

又∵AB∥CD

∴四邊形APCF是平行四邊形

又∵FP⊥AC

∴四邊形APCF為菱形

PF=