Question

【題目】（1）如圖1，在AB直線一側C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．

（2）如圖2，在∠AOB內部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．

（3）如圖3，在∠AOB內部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析．

【解析】

（1）由于△PCD的周長＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直線l上找一點P，使PC+PD最小．如果設C關于l的對稱點為C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；

（2）作P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD角OA、OB于E、F．此時△PEF周長有最小值；

（3）如圖3，作M關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，此時使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短．

（1）如圖1，作C關于直線AB的對稱點C′，連接C′D交AB于點P．則點P就是所要求作的點．理由如下：

在l上取不同于P的點P′，連接CP′、DP′．

∵C和C′關于直線l對稱，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′，∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′．即△CDP周長小于△CDP′周長；

（2）如圖2，作P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，則點E，F就是所要求作的點，理由如下：

在OA，OB上取不同于E，F的點E′，F′．連接CE′、E′P、PF′、DF′．

∵C和P關于直線OA對稱，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′．

∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；

（3）如圖3，作M關于OA的對稱點C，作N關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F，則點E，F就是所要求作的點．理由如下：

在OA，OB上取不同于E，F的點E′，F′，連接CE′、E′F′，DF′．

∵C和M關于直線OA對稱，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．