Question

【題目】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ACDB中，AB為直徑，AC：BC=1：2，點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，BE⊥CD垂足為E．
（1）求∠BCE的度數(shù)；
（2）求證：D為CE的中點(diǎn)；
（3）連接OE交BC于點(diǎn)F，若AB= ，求OE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AD，

∵D為弧AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠DCB=∠DAB=45°

（2）證明：∵BE⊥CD，又∵∠ECB=45°，

∴∠CBE=45°，

∴CE=BE，

∵四邊形ACDB是圓O的內(nèi)接四邊形，

∴∠A+∠BDC=180°，

又∵∠BDE+∠BDC=180°，

∴∠A=∠BD，

又∵∠ACB=∠BED=90°，

∴△ABC∽△DBE，

∴DE：AC=BE：BC，

∴DE：BE=AC：BC=1：2，

又∵CE=BE，

∴DE：CE=1：2，

∴D為CE的中點(diǎn)

（3）解：連接EO，

∵CO=BO，CE=BE，

∴OE垂直平分BC，

∴F為BC中點(diǎn)，

又∵O為AB中點(diǎn)，

∴OF為△ABC的中位線，

∴OF= AC，

∵∠BEC=90°，EF為中線，

∴EF= BC，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

∵AC：BC=1：2，AB= ，

∴AC= ，BC=2 ，

∴OE=OF+EF= ．

【解析】（1）連接AD，由D為弧AB的中點(diǎn)，得到AD=BD，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）由已知條件得到∠CBE=45°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE：AC=BE：BC，即可得到結(jié)論．（3）連接CO，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位線到現(xiàn)在得到OF= AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EF= BC，由勾股定理即可得到結(jié)論．