Question

【題目】（1）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖①，△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據小明的方法思考：

Ⅰ．由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是　 　．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

Ⅱ．由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是　 　．

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中．

（2）如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】（1）Ⅰ．B；Ⅱ． 2＜AD＜11；（2）7

【解析】

（1）（Ⅰ）根據全等三角形的判定定理解答．

（Ⅱ）根據三角形的三邊關系計算．

（2）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據全等三角形的性質解答．

解：（1）（Ⅰ）在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故選：B；

（Ⅱ）∵△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝9

∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴4＜AE＜22

∴2＜AD＜11，

故答案為：2＜AD＜11．

（2）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，如圖②

∵AD是△ABC中線，

∴BD＝DC，

∵在△ADC和△MDB中，

，

∴△ADC≌△MDB（SAS），

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵∠AFE＝∠AEF，

∴AE＝EF＝4，

∴AC＝AE+CE＝7，

∴BM＝AC＝7，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF＝7．