Question

【題目】（1）將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是 ，∠CAC′= °．

（2）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論．

（3）如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數量關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A′D；=90°；（2）EP=FQ；見解析（3）HE=HF

【解析】解：（1）如圖2，由旋轉的性質可知，△ABC≌△A′C′D，

∴BC=A′D，∠ACB=∠C′AD，又∠ACB+∠CAB=90°，

∴∠C′AD+∠CAB=90°，即∠CAC′=90°，

故答案為：A′D；=90°；

（2）EP=FQ，

證明：∵△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠EAP=∠ABG，

在△APE和△BGA中，

，

∴△APE≌△BGA，

∴EP=AG，

同理，FQ=AG，

∴EP=FQ；

（3）HE=HF，

證明：作EP⊥GA交GA的延長線于P，作FQ⊥GA交GA的延長線于Q，

∵四邊形ABME是矩形，

∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠EAP=∠ABG，又∠APE=∠BGA=90°，

∴△APE∽△BGA，

∴=，即AG=kEP，

同理△AQF∽△CGA，

∴=k，即AG=kFQ，

∴EP=FQ，

∵EP⊥GA，FQ⊥GA，

∴EP∥FQ，又EP=FQ，

∴HE=HF．