Question

【題目】如圖①，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．

探究：在下面兩種條件下，線段BM、MN、NC之間的關系，并加以證明．

①AN=NC（如圖②）；　　②DM//AC（如圖③）．

思考：若點M、N分別是射線AB、CA上的點，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關系，在圖④中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)MN=NC+BM，證明見解析

（2）MN=NC-BM，證明見解析

【解析】

本題是一個典型的“半角旋轉”模型。①和②情況其實是一樣的，延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，構造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再進一步證明△DMN≌△DEN，進而得到MN=BM+NC；

思考題：MN=NC-BM．仿（1）的思路運用截長法證明．

（1）MN=BM+NC．理由如下：
延長AC至E，使得CE=BM，連接DE，如圖所示：

∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°．
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°．
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN．
又NE=NC+CE，BM=CE，
∴MN=BM+NC；
（2）MN=NC-BM．
證明：在CA上截取CE=BM．
由（1）知：∠DCE=∠DBM=90°，DC=DB．
又CE=BM，
∴△DCE≌△DBM （SAS）
∴∠CDE=∠BDM，DM=DE．
∴∠MDN=∠EDN=60°．
∴△MDN≌△EDN （SAS）
∴NM=NE．
∵NE=NC-CE，CE=BM，
∴MN=NC-BM．