Question

【題目】已知，如圖，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）動手操作：利用尺規作，以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O，與AB的另一個交點為E，與AC的另一個交點為F（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由。
（2）若∠BAC=60度，CD= ，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結果保留根號和 ）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1；

（2）解：（1）直線BC與⊙O的位置關系為相切．理由如下：

如圖1，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC是⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關系為相切；

（2）如圖2，

∵∠BAC的角平分線AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，

∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴BD=AD．

∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD= ，

∴AD=2CD=2 ，AC= CD=3，

∴BD=2 ，AB=2AC=6．

設⊙O的半徑為r，

在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，

即r2+（2 ）2=（6﹣r）2，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∴S扇形ODE= ，

S△ODB= ODBD= ×2×2 =2 ，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S△ODB﹣S扇形ODE= ．

【解析】（1）根據題意作線段AD的垂直平分線，交AB于點O，以O為圓心，OA為半徑畫圓。要證直線BC于圓相切，因此連接OD，去證明OD⊥BC。先根據角平分線的定義得出∠CAD=∠OAD，再由OA=OD，證出∠OAD=∠ADO，根據等量代換得出∠CAD=∠ADO，就可證明AC∥OD，由∠C=90°，得出OD⊥BC，即可證得結論。
（2）觀察圖形可知線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積=△OBD的面積-扇形DOE的面積，根據已知先求出OD和BD的長，及圓心角∠DOE的度數，就可求出△OBD的面積和扇形DOE的面積，即可求出結果。
【考點精析】利用勾股定理的概念和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．