Question

【題目】如圖（1），拋物線W1：y=﹣x2+4x與x軸的正半軸交于點B，頂點為A，拋物線W2與W1關于x軸對稱，頂點為D．

（1）求拋物線W2的解析式；
（2）將拋物線W2向右平移m個單位，點D的對應點為D′，點B的對應點為B′，則當m為何值時，四邊形AOD′B′為矩形？請直接寫出m的值．
（3）在（2）的條件下，將△AOD′沿x軸的正方向向右平移n個單位（0＜n＜5），得到△A′O′D′′，AD′分別與O′A′、O′D′′交于點M、點P，A′D′′分別與AB′、B′D′交于點N、點Q．
①求當n為何值時，四邊形MNQP為菱形？
②若四邊形MNQP的面積為S，求S關于n的函數(shù)關系式；并求當n為何值時，S的值最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4得，點A坐標為（2，4），

∵拋物線W2與W1關于x軸對稱，

∴點D坐標為（2，﹣4），

∴拋物線W2的解析式為y=（x﹣2）2﹣4，即y=x2﹣4x

（2）解：∵點A坐標為（2，4），

∴直線OA=2x，

∵點D坐標為（2，﹣4），

∴D′（2+m，﹣4），

∴直線OD′的解析式為y=﹣ x，

∵四邊形AOD′B′為矩形，

∴AO⊥OD′，

∴2×（﹣ ）=﹣1，

∴m=6，

∴當m的值為6時，四邊形AOD′B′為矩形

（3）解：①當y=0時，﹣x2+4x=0，解得x1=0，x2=4．

∴點B坐標為（4，0），

又∵m=6，

∴B′坐標為（10，0），

∴OB′=10；

設矩形AOD′B′的對角線AD′與OB′交于點E，A′D′′與x軸交于點F．．

∵四邊形AOD′B′為矩形，

∴AE=OE=B′E=D′E=5，

∴∠OAE=∠AOE，∠EOD′=∠DOE．

∵A′O′∥AO，O′D′′∥OD′，

∴∠EMO′=∠MO′E，∠EO′P=∠EPO′，

∴ME=EO′=EP，

∵OE=5，OO′=n，

∴O′E=5﹣n，

∴ME=EP=5﹣n．

同理NF=FQ=FB′=5﹣n．

∵MP∥NQ，

∴四邊形MEFN，EPQF為平行四邊形．

∴MN∥EF∥PQ，

∴四邊形MNQP為平行四邊形，

∴當MN=MP時，四邊形MNQP為菱形．

∵MN=AA′=n，MP=2O′E=10﹣2n．

∴n=10﹣2n．

解得n= ．

∴當n= 時，四邊形MNQP為菱形；

②過M作MH⊥x軸，垂足為H，過A作AG⊥x軸，垂足為G，

則△MHE∽△AGE，

∴ ，

∴ = ，

∴MH= （5﹣n），

∴S=2S□MEFN=2× （5﹣n）﹣n=﹣ n2+8n，

∵S=﹣ （n﹣ ）2+10，∵﹣ ＜0，

∴當n= 時，S的值最大，最大值為10．

【解析】（1）拋物線關于x 軸對稱與點的對稱類似，橫坐標不變，縱坐標變?yōu)槠湎喾磾?shù)，即-y=﹣x2+4x,y=x2-4x;（2）先求OA解析式，再用m的代數(shù)式表示直線OD′的解析式，根據(jù)矩形的性質，得出二直線互相垂直，即斜率之積為-1，求出m；（3）由已知可得四邊形MNQP為平行四邊形，若四邊形MNQP為菱形須MN=MP，構建n的方程n=10﹣2n，求出ｎ；最值問題可運用函數(shù)思想，構建Ｓ關于ｎ的函數(shù)，二次函數(shù)可配成頂點式，求出最值．