Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，過對角線AC的中點O作EF⊥AC，分別交邊AB、CD于點E、F，連接CE、AF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若EF=4，tan∠OAE=，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）20.

【解析】

試題分析：（1）運用“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要證明OE=OF即可，用全等三角形得出；

（2）菱形的面積可以用對角線積的一半來表示，由已知條件，解直角三角形AOE可求AC、EF的長度．

試題解析：（1）證明：方法1：

∵AB∥DC，

∴∠1=∠2．

在△CFO和△AEO中，∠1=∠2，∠FOC=∠EOA，OC=OA，

∴△CFO≌△AEO，

∴OF=OE，

又∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形．

方法2：證△AEO≌△CFO同方法1，

∴CF=AE，

∵CF∥AE，

∴四邊形AFCE是平行四邊形．

∵OA=OC，EF⊥AC，

∴EF是AC的垂直平分線，

∴AF=CF，

∴四邊形AECF是菱形．

（2）解：∵四邊形AECF是菱形，EF=4，

∴OE=EF=×4=2．

在Rt△AEO中，

∵tan∠OAE=，

∴OA=5，

∴AC=2AO=2×5=10．

∴=EFAC=×4×10=20．