Question

【題目】已知直線m，n相交于點B，點A，C分別為直線m，n上的點，AB=BC=1，且∠ABC=60°，點E是直線m上的一個動點，點D是直線n上的一個動點，運動過程中始終滿足DE=CE．

（1）如圖1，當點E運動到線段AB的中點，點D在線段CB的延長線上時，求BD的長．
（2）如圖2，當點E在線段AB上運動，點D在線段CB的延長線上時，試確定線段BD與AE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵點E是線段AB的中點，

∴∠ECB= ∠ACB=30°，

∵DE=CE，

∴∠EDB=∠ECB=30°，

∵∠ABC=∠EDB+∠DEB，

∴∠DEB=30°=∠EDB，

∴BD=DE= AB=

（2）解：BD=AE；理由如下：

過點E作EF∥BC交AC于點F，如圖所示：

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB=60°，

∴∠EFC=120°，∠AFE=∠A，

∴EF=EA，

∵∠ABC=60°，

∴∠EBD=120°，

∴∠EFC=∠EBD，

∵CE=DE，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EDB+∠DEB=∠ECB+∠ECF=60°，

∴∠DEB=∠ECF，

在△EDB和△CEF中， ，

∴△EDB≌△CEF（AAS），

∴BD=EF，

∵EF=EA，

∴BD=AE．

【解析】（1）證明△ABC為等邊三角形，得出∠ACB=∠ABC=60°，由等邊三角形的性質得出∠ECB= ∠ACB=30°，由等腰三角形的性質得出∠EDB=30°，由三角形的外角性質得出∠DEB=∠EDB，即可得出結論；（2過點E作EF∥BC交AC于點F，由平行線的性質得出∠AFE=∠ACB=60°，證出∠EFC=120°，∠AFE=∠A，得出EF=EA，證出∠DEB=∠ECF，由AAS證明△EDB≌△CEF，得出BD=EF，即可得出結論．