Question

【題目】如圖，正方形ABCE的邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長為2，則△MAN的面積的最小值為（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：延長CB至L，使BL=DN， 則Rt△ABL≌Rt△AND，

故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
設CM=x，CN=y，MN=z x2+y2=z2 ，
∵x+y+z=2， 則x=2-y-z
∴（2-y-z）2+y2=z2 ，
整理得2y2+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）2-32（1-z）≥0，
即（z+2+2 ）（z+2-2 ）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2 -2，
當且僅當x=y=2- 時等號成立 此時S△AMN=S△AML= MLAB= z
因此，當z=2 -2，x=y=2- 時，S△AMN取到最小值為 -1．
所以答案是：A．
【考點精析】利用二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．