Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1）證明見解析；（2）4．

【解析】試題分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行線的內錯角），而∠AFD和∠C是等角的補角，由此可判定兩個三角形相似；

（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的長，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出AF的長．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵CD=AB=8，AE⊥BC，

∴AE⊥AD；

在Rt△ADE中，

∵△ADF∽△DEC，

∴；

∴

∴AF=4．