Question

【題目】如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點 B、C、E 在同一條直線上，AE與 BD交于點 O，AE與 CD交于點 G，AC與 BD交于點 F，連接 OC、FG，則下列結論要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④OC 平分∠BOE，其中結論正確的個數有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先根據等邊三角形的性質，得到 BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由 SAS 判定△BCD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；又由全等三角形的對應角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根據ASA，證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，同理證得 CF＝CG，得到△ CFG 是等邊三角形，易得③正確．

∵△ABC 和△DCE 均是等邊三角形，

∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE＝BD，①正確；

∠CBD＝∠CAE，

∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，

∴△BCF≌△ACG（ASA），

∴AG＝BF，②正確；

同理：△DFC≌△EGC（ASA），

∴CF＝CG，

∴△CFG 是等邊三角形，

∴∠CFG＝∠FCB＝60°，

∴FG∥BE，③正確；

過 C 作 CM⊥AE 于 M，CN⊥BD 于 N，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠BDC＝∠AEC，

∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，

∴△CDN≌△CEM，

∴CM＝CN，

∵CM⊥AE，CN⊥BD，

∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）

∴∠BOC＝∠EOC，

∴OC 平分∠BOE，④正確； 故選：D．