Question

【題目】如圖1，A（m，0），B（0，n），且m，n滿足（m﹣2）20．

（1）求S△ABO；

（2）點C為y軸負半軸上一點，BD⊥CA交CA的延長線于點D，若∠BAD＝∠CAO，求的值；

（3）點E為y軸負半軸上一點，OH⊥AE于H，HO，AB的延長線交于點F，G為y軸正半軸上一點，且BG＝OE，FG，EA的延長線交于點P，求證：點P的縱坐標是定值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）1

【解析】

（1）利用非負性得出m，n值，即可得出點A，B坐標，最后用三角形的面積公式即可；

（2）先求出先求出OC，進而得出22.5°的正切值，再求出AC的平方，再求出BD的平方即可；

（3）設出點E坐標，用待定系數法和直線交點坐標即可確定出點P坐標即可得出結論．

（1）∵（m﹣2）20，∴m＝n＝2，∴A（2，0），B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴S△AOBOA×OB＝2；

（2）如圖1，在OC上取一點E，使OE＝OA＝2，由（1）知，OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴AE＝2．

∵∠BAD＝∠CAO，∴∠BAD＝∠CAO＝67.5°．

∵∠ADB＝∠AOC＝90°，∴∠ABD＝∠ACO＝22.5°，∴CE＝AE＝2，∴OC＝OE+CE＝2（1），∴AC2＝OA2+OC2＝4+4（1）2＝8（2），tan∠ACO1．

在Rt△ABD中，tan∠ABD＝tan22.5°＝tan∠ACO1，∴AD＝（1）BD．

在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，∴AB＝2，根據勾股定理得：AD2+BD2＝AB2，∴[（1）BD]2+BD2＝8，∴BD2＝2（2），，∴；

（3）如圖2，由（1）知，A（2，0），B（0，2），∴直線AB解析式為y＝﹣x+2①，設E（0，a），∴OE＝|a|＝﹣a．

∵BG＝OE，∴BG＝﹣a，∴OG＝2﹣a，∴G（0，2﹣a）．

∵A（2，0），E（0，a），∴直線AE解析式為yx+a②．

∵OH⊥AE，∴直線OH解析式為yx③，聯立①③得：x，y，∴F（）．

∵G（0，2﹣a），∴直線FG的解析式為yx+2﹣a④，聯立②④得：x，y＝1，∴P（，1），∴點P的縱坐標是定值，定值為1．