Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，動點P在線段BC上（不含點B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．

（1）如圖②，當點P與點C重合時，求證：△BOG≌△POE；
（2）通過觀察、測量、猜想： = ， 并結合圖①證明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖②），若∠ACB=a，直接寫出 的值，為 ． （用含a的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，

在△BOG和△POE中， ，

∴△BOG≌△POE（ASA）

（2）
（3）tanα
【解析】（2.）解：猜想 = ．
證明：如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中， ，
∴△BMN≌△PEN（ASA），
∴BM=PE．
∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，
∴∠BFP=∠MFP=90°．
在△BPF和△MPF中， ，
∴△BPF≌△MPF（ASA）．
∴BF=MF．
即BF= BM．
∴BF= PE．
即 = ；
故答案為 ；
（3.）解：如圖3，過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．
由（2）同理可得BF= BM，∠MBN=∠EPN，
∴△BMN∽△PEN，
∴ = ．
在Rt△BNP中，tanα= ，
∴ =tanα．即 =tanα．
∴ =tanα．
（1）由四邊形ABCD是正方形，P與C重合，易證得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，證得∠GBO=∠EPO，則可利用ASA證得：△BOG≌△POE；（2）首先過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易證得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF= BM．則可求得 的值；（3）首先過P作PM∥AC交BG于點M，交BO于點N，由（2）同理可得：BF= BM，∠MBN=∠EPN，繼而可證得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得 ．