Question

【題目】如圖，一次函數分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2； （2）當t=2時，MN有最大值4； （3）（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．

【解析】（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）本問要點是求得線段MN的表達式，這個表達式是關于t的二次函數，利用二次函數的極值求線段MN的最大值；

（3）本問要點是明確D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示，不要遺漏．其中D1、D2在y軸上，利用線段數量關系容易求得坐標；D3點在第一象限，是直線D1N和D2M的交點，利用直線解析式求得交點坐標．

解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點，

∴A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0），

將x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2，

將x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，

∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+2；

（2）如答圖1，設MN交x軸于點E，

則E（t，0），BE=4﹣t．

∵tan∠ABO==，

∴ME=BEtan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．

又N點在拋物線上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2，

∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t，

∴當t=2時，MN有最大值4；

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示．

（i）當D在y軸上時，設D的坐標為（0，a）

由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，

從而D為（0，6）或D（0，﹣2），

（ii）當D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點，

易得D1N的方程為y=x+6，D2M的方程為y=x﹣2，

由兩方程聯立解得D為（4，4）

故所求的D點坐標為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．

“點睛”本題是二次函數綜合題，考查了拋物線上點的坐標特征、二次函數的極值、待定系數法求函數解析式、平行四邊形等重要知識點．難點在于第（3）問，點D的可能位置有三種情況，解答時年容易遺漏而導致失分，作為中考壓軸題此題有一定難度．