Question

【題目】如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在軸上，點A在點B的左側，點D在軸的正半軸上，，點A的坐標為.

(1)求D點的坐標.

(2)求直線AC的函數關系式.

(3)動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，按照的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為秒.求為何值時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）；（3）t=2或6或10或14

【解析】

（1）在Rt△AOD中，根據OA的長以及∠BAD的正切值，即可求得OD的長，從而得到D點的坐標；
（2）根據點A、C的坐標，利用待定系數法可求得直線AD的解析式．
（3）由于點P沿菱形的四邊勻速運動一周，那么本題要分作四種情況考慮：
在Rt△OAD中，易求得AD的長，也就得到了菱形的邊長，而菱形的對角線平分一組對角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①當點P在線段AD上時，若⊙P與AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R為⊙P的半徑），由此可求得AP的長，即可得到t的值；
②③④的解題思路與①完全相同，只不過在求t值時，方法略有不同．

解：（1）∵點A的坐標為（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OAtan60°=2，AD=4，
∴點D的坐標為（0，2）；

（2）根據（1）知點D的坐標為（0，2）

∵AD=CD，CD∥AB，
∴C（4，2）；

設直線AC的函數表達式為y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（4，2），

解得：

∴直線AC的解析式為；

（3）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，
如圖所示：

①點P在AD上與AC相切時，
連接P1E，則P1E⊥AC，P1E=r，
∵∠1=30°，
∴AP1=2r=2，
∴t1=2．
②點P在DC上與AC相切時，
CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，
∴t2=6．
③點P在BC上與AC相切時，
CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
∴t3=10．
④點P在AB上與AC相切時，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，
∴t4=14，
∴當t=2或6或10或14時，以點P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．

故答案為：（1）（0，2）；（2）；（3）t=2或6或10或14.