Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AC為直徑的⊙O分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上，2∠BCF=∠BAC．
（1）求∠ADE的度數(shù)．
（2）求證：直線CF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ACE=60°，

∴∠ADE=180°﹣∠ACE=120°

（2）解：∵⊙O的直徑是AC，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴∠BAE=∠CAE．

∵2∠BCF=∠BAC，

∴∠BCF=∠CAE．

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．

又AC是直徑，

∴直線CF是⊙O的切線

【解析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可以求得∠ADE的度數(shù)．（2）欲證明直線CF是⊙O的切線，只需推知∠ACF=90°．
【考點(diǎn)精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．