Question

【題目】拋物線的圖象經過坐標原點，且與軸另交點為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，直線與拋物線相交于點和點（點在第二象限），求的值（用含的式子表示）；

（3）在（2）中，若，設點是點關于原點的對稱點，如圖.平面內是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）y2﹣y1==（m＞0）；（3）存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況，點P的坐標為（2，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．

【解析】

（1）根據點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線F的解析式；
（2）將直線l的解析式代入拋物線F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2-y1的值；
（3）根據m的值可得出點A、B的坐標，利用對稱性求出點A′的坐標．利用兩點間的距離公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B為等邊三角形；結合菱形的性質，可得出存在符合題意得點P，設點P的坐標為（x，y），分三種情況考慮：（i）當A′B為對角線時，根據菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標；（ii）當AB為對角線時，根據菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標；（iii）當AA′為對角線時，根據菱形的性質（對角線互相平分）可求出點P的坐標．綜上即可得出結論．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點（0，0）和（-，0），

∴，

解得：，

∴拋物線F的解析式為y=x2+x．

（2）將y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，

解得：x1=﹣，x2=，

∴y1=﹣+m，y2=+m，

∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．

（3）∵m=，

∴點A的坐標為（﹣，），點B的坐標為（，2）．

∵點A′是點A關于原點O的對稱點，

∴點A′的坐標為（，﹣）．

由兩點距離公式可得：AA′=AB=A′B=，

∴存在符合題意的點P，且以點A、B、A′、P為頂點的菱形分三種情況，設點P的坐標為（x，y）．

（i）當A′B為對角線時，有，

解得：，

∴點P的坐標為（2，）；

（ii）當AB為對角線時，有，

解得：，

∴點P的坐標為（﹣，）；

（iii）當AA′為對角線時，有，

解得：，

∴點P的坐標為（﹣，﹣2）．