Question

【題目】如圖所示，一次函數(shù)分別交x，y軸于A，C兩點，拋物線與經(jīng)過點A，C.

（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若P為拋物線上A，C兩點間的一個動點，過點P作直線，交直線AC于點Q，當(dāng)點P運動到什么位置時，線段PQ的長度最大？求此最大長度，及此時P點坐標(biāo)。

（3）在（2）條件下，直線與軸交于N點與直線AC交于點M，當(dāng)N，M，Q，D四點是平行四邊行時，直接寫出D點的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，PQ最大=， P（）；

（3） .

【解析】試題分析: （1）先求出A、C坐標(biāo)，把A、C兩點坐標(biāo)代入y＝x＋bx＋c解方程組即可．

（2）設(shè)P（a，a＋2a3），則Q（a，a3），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

（3）如圖2中，分兩種情形①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時，DQ＝MN＝2，可得D1（， ），D2（，）．②當(dāng)MN為對角線時，可得D3（，）．

試題解析: （1）∵一次函數(shù)y＝x3分別交x，y軸于A，C兩點，

∴A（3，0）C（0，3），把A、C兩點坐標(biāo)代入y＝x＋bx＋c

得

解得，

∴y＝x ＋2x3．

（2）設(shè)P（a，a ＋2a3），則Q（a，a3），

∴PQ＝a3（a ＋2a3）＝a 3a＝（a）＋．

∴當(dāng)a＝時，PQ是最大值＝，

此時P（，）．

（3）如圖2中，

∵N（1，0），M（1，2），Q（，），

∴MN＝2，

①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時，DQ＝MN＝2，

∴， ．

②當(dāng)MN為對角線時，可得，

綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為 ．

點睛: 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問題、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．