Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，E是AB上一點，連接CF、EF，且CF=EF．

（1）若∠CFD=55°，求∠BCD的度數；

（2）求證：∠EFC=2∠CFD；

（3）求證：CE⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，根據平行線的性質得出∠BCF=∠CFD=55°，求出DF=DC，根據等腰三角形的性質得出∠DCF=∠CFD=55°，即可求出答案；

（2）延長EF和CD交于M，根據平行四邊形的性質得出AB∥CD，根據平行線的性質得出∠A=∠FDM，證△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根據三角形的外角性質求出即可；

（3）求出∠ECD=90°，根據平行線的性質得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵∠CFD=55°，

∴∠BCF=∠CFD=55°，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AD=2DC，

∵F為AD的中點，

∴AF=DF，AD=2DF，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠CFD=55°，

∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=55°+55°=110°；

（2）證明：延長EF和CD交于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠FDM，

在△EAF和△MDF中，

，

∴△EAF≌△MDF（ASA），

∴EF=MF，

∵EF=CF，

∴CF=MF，

∴∠FCD=∠M，

∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，

∴∠M=∠FCD=∠CFD，

∵∠EFC=∠M+∠FCD=2∠CFD；

（3）解：∵EF=FM=CF，

∴∠ECM=90°，

∵AB∥CD，

∴∠BEC=∠ECM=90°，

∴CE⊥AB．