Question

【題目】如圖1，已知A（，0），B（0， ）分別為兩坐標軸上的點，且、滿足，OC∶OA=1∶3．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）若D（1，0），過點D的直線分別交AB、BC于E、F兩點，設E、F兩點的橫坐標分別為．當BD平分△BEF的面積時，求的值；

（3）如圖2，若M（2，4），點P是軸上A點右側一動點，AH⊥PM于點H，在HM上取點G，使HG=HA，連接CG，當點P在點A右側運動時，∠CGM的度數是否改變？若不變，請求其值；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），B（0，6），C（－2，0）；（2）；（3）不改變．

【解析】試題分析：（1）由偶次方和算術平方根的非負性質求出a和b的值，得出點A、B的坐標，再求出OC，即可得出點C的坐標；

（2）作EG⊥x軸于G，FH⊥x軸于H，由三角形的面積關系得出DF=DE，由AAS證明△FDH≌△EDG，得出DH=DG，即可得出結果；

（3）作MQ⊥x軸于Q，連接CM、AG、M，證出△MCQ是等腰直角三角形，得出∠MCQ=45°，同理：△MPQ是等腰直角三角形，∠MAQ=45°，△AHG是等腰直角三角形，得出∠AGH=45°=∠MCQ，證出A、G、M、C四點共圓，由圓周角定理即可得出結論．

試題解析：（1）∵，

∴a-b=0，b-6=0，

∴a=b=6，

∴A（6，0），B（0，6），

∴OA==OB=6，

∵OC：OA=1：3，

∴OC=2，

∴C（－2，0）．

(2)作EG⊥x軸于G，FH⊥x軸于H，如圖1所示：

則∠FHD=∠EGD=90°，

∵BD平分△BEF的面積，

∴DF=DE，

在△FDH和△EDG中， ，

∴△FDH≌△EDG(AAS)，

∴DH=DG，即xE+1=xF1，

∴xE+xF=2；

（3）∠CGM的度數不改變，∠CGM=45°；

理由如下：作MQ⊥x軸于Q，連接CM、AG、M，如圖2所示：

則MQ=4，OQ=2，

∴CQ=2+2=4，

∴△MCQ是等腰直角三角形，

∴∠MCQ=45°，

同理：△MQA是等腰直角三角形，

∴∠MAQ=45°，

∵AH⊥PM，HG=HA，

∴△AHG是等腰直角三角形，

∴∠AGH=45°=∠MCQ，

∴A、G、M、C四點共圓，

∴∠CGM=∠MAQ=45°.