Question

【題目】在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理；

（2）如圖2，當(dāng)E，F分別在邊CD，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明）；連接AC，求△ACE為等腰三角形時(shí)CE：CD的值；

（3）如圖3，當(dāng)E，F分別在直線DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最大值.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由見(jiàn)解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，由SAS先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）有兩種情況：①當(dāng)AC=CE時(shí)，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②當(dāng)AE=AC時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理求出AC=AE=a，根據(jù)正方形的性質(zhì)知∠ADC=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=CD=a即可；

（3）由（1）（2）知：點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的圓，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最大，再由勾股定理可得QC的長(zhǎng)，再求CP即可．

試題解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵動(dòng)點(diǎn)E，F分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，

∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°-90°=90°，

∴AE⊥DF；

（2）（1）中的結(jié)論還成立，

有兩種情況：

①如圖1，當(dāng)AC=CE時(shí)，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得，

，

則；

②如圖2，當(dāng)AE=AC時(shí)，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，由勾股定理得：

，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；

（3）∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，

∴點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓，

如圖3，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接CQ并延長(zhǎng)交圓弧于點(diǎn)P，

此時(shí)CP的長(zhǎng)度最大，

∵在Rt△QDC中，

∴，

即線段CP的最大值是.