Question

【題目】在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉，得到△ADE，旋轉角為α（0°＜α＜180°），點B的對應點為點D，點C的對應點為點E，連接BD，BE．

（1）如圖，當α=60°時，延長BE交AD于點F．
①求證：△ABD是等邊三角形；
②求證：BF⊥AD，AF=DF；
③請直接寫出BE的長；
（2）在旋轉過程中，過點D作DG垂直于直線AB，垂足為點G，連接CE，當∠DAG=∠ACB，且線段DG與線段AE無公共點時，請直接寫出BE+CE的值．
溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便作答．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△ADE，

∴AB=AD，∠BAD=60°，

∴△ABD是等邊三角形；

②由①得△ABD是等邊三角形，

∴AB=BD，

∵△ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到△ADE，

∴AC=AE，BC=DE，

又∵AC=BC，

∴EA=ED，

∴點B、E在AD的中垂線上，

∴BE是AD的中垂線，

∵點F在BE的延長線上，

∴BF⊥AD，AF=DF；

③由②知BF⊥AD，AF=DF，

∴AF=DF=3，

∵AE=AC=5，

∴EF=4，

∵在等邊三角形ABD中，BF=ABsin∠BAF=6× =3 ，

∴BE=BF﹣EF=3 ﹣4

（2）

解：如圖所示，

∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，

又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，

∴∠BAE=∠ABC，

∵AC=BC=AE，

∴∠BAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC，

∴AB⊥CE，且CH=HE= CE，

∵AC=BC，

∴AH=BH= AB=3，

則CE=2CH=8，BE=5，

∴BE+CE=13．

【解析】（1）①由旋轉性質知AB=AD，∠BAD=60°即可得證；②由BA=BD、EA=ED根據中垂線性質即可得證；③分別求出BF、EF的長即可得；（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根據三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，繼而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．本題主要考查旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、中垂線的性質、三角形內角和定理等知識點，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．