Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（﹣6，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α=60°，OE=OA，求直線EF的函數表達式；

（2）若α為銳角，tanα=，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積；

（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，△OEP的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，過點E作EH⊥OA于點H，EF與y軸的交點為M．

∵OE=OA，α=60°，∴△AEO為正三角形，∴OH=3，EH==，∴E（﹣3，）．

∵∠AOM=90°，∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，∵cos∠EOM=，即，∴OM=，∴M（0，）．

設直線EF的函數表達式為，∵該直線過點E（﹣3，），∴=，解得，所以，直線EF的函數表達式為．

（2）如圖2，射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα=）．

無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉角α后得到正方

形OEFG的頂點E在射線OQ上，∴當AE⊥OQ時，線段AE的長最小．

在Rt△AOE中，設AE=a，則OE=2a，∴，解得，（舍去），∴OE=2a=，∴S正方形OEFG==．

（3）設正方形邊長為m．

當點F落在y軸正半軸時．如圖3，當P與F重合時，△PEO是等腰直角三角形，有或．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，∴點P1的坐標為（0，6）．

在圖3的基礎上，當減小正方形邊長時，點P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；

當增加正方形邊長時，存在（圖4）和（圖5）兩種情況．

如圖4，△EFP是等腰直角三角形，有=，即=，此時有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，∴OE=OA=，∴PE=OE=12，PA=PE+AE=18，∴點P2的坐標為（﹣6，18）．

如圖5，過P作PR⊥x軸于點R，延長PG交x軸于點H．設PF=n．

在Rt△POG中，==，在Rt△PEF中，=，當時，∴，∴=，得n=2m．

∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP，∴，∴AH=4OA=24，即OH=18，∴m=．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR=PH=36，∴OR=RH﹣OH=18，∴點P3的坐標為（﹣18，36）．

當點F落在y軸負半軸時，如圖6，P與A重合時，在Rt△POG中，OP=OG，又∵正方形OGFE中，OG=OE，∴OP=OE，∴點P4的坐標為（﹣6，0）．

在圖6的基礎上，當正方形邊長減小時，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；當正方形邊長增加時，存在（圖7）這一種情況．

如圖7，過P作PR⊥x軸于點R，設PG=n．

在Rt△OPG中，=，在Rt△PEF中，==．

當時，∴，∴=，∴n=2m，由于NG=OG=m，則PN=NG=m，∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴=1，即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON=m，∴12=m，∴m=，在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，∴點P5的坐標為（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中兩邊的比能為：1，點P的坐標是：P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．