Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于點D，F是BE上一點，AF⊥AE，且C是線段AF的垂直平分線上的點，AF=2，則DF=________.

Answer 1

【答案】3.

【解析】

由題意可證的△ABF≌△ACE,可得△AEF為等腰直角三角形，取AF的中點O，連接CO交BE與點G，連接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均為等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四邊形AGCE為平行四邊形，可得FD的長.

解：如圖

Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE為∠BAC與EAF的公共角

∠BAF=∠CAE,

∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE

∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，

∠ABF=∠ACE，

在△ABF與△ACE中，有

，△ABF≌△ACE，

AE=AF, △AEF為等腰直角三角形, 取AF的中點O，連接CO交BE與點G，連接AG,

C是線段AF的垂直平分線上的點，易得△AGF, △AGE,△CEG均為等腰直角三角形，

AF=2 AG=GE=CE=FG=2,

又AG⊥BE,CE⊥BE,可得AG∥CE,

四邊形AGCE為平行四邊形，

GD=DE=1,

DF=FG+GD=2+1=3.