Question

如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：

（1）求點N的坐標（用含x的代數式表示）；

（2）設△OMN的面積是S，求S與x之間的函數表達式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）根據題意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，

作NP⊥OA于P，如圖1所示：

則NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴，

即，

解得：OP=x，PN=，

∴點N的坐標是（x，）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM邊上的高PN=，

∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x²+x，

∴S與x之間的函數表達式為S=﹣x²+x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣（x﹣2）²+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

當x=2時，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分兩種情況：①若∠OMN=90°，如圖2所示：

則MN∥AB，

此時OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如圖3所示：

則∠ONM=∠OAB，

此時OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴，

即，

解得：x=；

綜上所述：x的值是2秒或秒．