Question

【題目】已知：矩形ABCD內一點N，△ANB為等腰直角三角形，連結BN、CN并延長分別交DC，AD于點E，M，在AB上截取BF=EC，連接MF．

（1）求證：四邊形FBCE為正方形；

（2）求證：MN=NC；

（3）若S△FMC：S正方形FBCE=2：3，求BN：MD的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BN：MD=．

【解析】試題分析：（1）先證明四邊形為矩形，再利用為等腰直角三角形，證明為等腰直角三角形，則，所以四邊形為正方形；
（2）作輔助線，構建全等三角形，證明≌，得，再利用平行線分線段成比例定理可得 則
（3）設 表示出和S正方形FBCE，并根據S△FMC:S正方形FBCE=2:3,依次計算出的長，最后得結論．

試題解析：(1)如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB∥CD,

∴BF∥EC，

∵BF=EC，

∴四邊形FBCE為矩形，

∵△ANB為等腰直角三角形，

∴△BEC為等腰直角三角形,

∴BC=CE，

∴四邊形FBCE為正方形；

(2)如圖2，過N作GH⊥BC，交BC于H，AD于G，則GH⊥AD，

∴△BHN≌△AGN，

∴NG=NH，

∵AD∥BC，

∴

∴MN=NC；

(3)如圖2,設BF=1,則S正方形FBCE=1,，

∵FO=OC，MN=NC，

∴ON∥FM，

由于S△FMC:S正方形FBCE=2:3,

即

∴△AFM是等腰直角三角形，