Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB交弦CD于點G，CG=DG，⊙O的切線BE交DO的延長線于點E，F是DE與⊙O的交點，連接BD，BF．
（1）求證：∠CDE=∠E；
（2）若OD=4，EF=1，求CD的長．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵在⊙O中，直徑AB交弦CD于點G，CG=DG，
∴AB⊥CD，
∵BE是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∴CD∥BE，
∴∠CDE=∠E；
（2）解：∵∠CDE=∠E，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG∽△OEB，
∴，
∵OD=4，EF=1，
∴OB=OF=OD=4，
∴OE=OF+EF=5，
∴，
∴OG=，
∴DG==，
∴CD=2DG=．
【解析】（1）由在⊙O中，直徑AB交弦CD于點G，CG=DG，根據垂徑定理即可得AB⊥CD，又由BE是⊙O的切線，易證得CD∥BE，即可證得結論；
（2）易證得△ODG∽△OEB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OG的長，由勾股定理即可求得DG的長，繼而求得答案．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．