Question

（2013•本溪）如圖，點B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB₁為一邊，構造等邊△OB₁A₁（點O，B₁，A₁按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B₂是△OB₁A₁的兩條中線的交點，再以OB₂為一邊，構造等邊△OB₂A₂（點O，B₂，A₂按逆時針方向排列），稱為第二次構造；以此類推，當第n次構造出的等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最后一個三角形的面積是

1

310

．

Answer 1

分析：由于點B₁是△OBA兩條中線的交點，則點B₁是△OBA的重心，而△OBA是等邊三角形，所以點B₁也是△OBA的內心，∠BOB₁=30°，∠A₁OB=90°，由于每構造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，所以還需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合；又因為任意兩個等邊三角形都相似，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，由△OB₁A₁與△OBA的面積比為

1

3

，求得構造出的最后一個三角形的面積．

解答：解：∵點B₁是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，
∴點B₁是△OBA的重心，也是內心，
∴∠BOB₁=30°，
∵△OB₁A₁是等邊三角形，
∴∠A₁OB=60°+30°=90°，
∵每構造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，
∴還需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合，
∴構造出的最后一個三角形為等邊△OB₁₀A₁₀．
如圖，過點B₁作B₁M⊥OB于點M，
∵cos∠B₁OM=cos30°=

OM

OB1

=

3

2

，
∴

OB

OB1

=

2OM

OB1

=

2 3

2

=

3

，即

OB1

OB

=

1

3

，
∴

S△OB1A1

S△OBA

=（

OB1

OB

）²=

1

3

，即S_△OB1A1=

1

3

S_△OBA=

1

3

，
同理，可得

S△OB2A2

S△OB1A1

=（

OB2

OB1

）²=

1

3

，即S_△OB2A2=

1

3

S_△OB1A1=（

1

3

）²=

1

32

，
…，
∴S_△OB10A10=

1

3

S_△OB9A9=（

1

3

）¹⁰=

1

310

，即構造出的最后一個三角形的面積是

1

310

．
故答案為

1

310

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，三角函數的定義，相似三角形的判定與性質等知識，有一定難度．根據條件判斷構造出的最后一個三角形為等邊△OB₁₀A₁₀及利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出△OB₁A₁與△OBA的面積比為

1

3

，進而總結出規律是解題的關鍵．